日本选举首相的过程是由国会的两个议会组成：众议院和参议院。以下是选举首相的详细步骤：

1.选举日期确定：根据宪法规定，首相的选举必须在众议院选举后的第一个国会会议之前进行。一般来说，这个日期是在众议院选举后的几天内确定的。

2.众议院选举：在日本，众议院选举是决定政府形成的关键。选民在选举日投票选举议员，每个选区选出一个议员。众议院共有465个席位，议员的任期为四年。

3.众议院任命：根据众议院选举的结果，政党或政党联盟获得多数席位的党派将成为执政党。通常情况下，该党派的党首将被任命为首相候选人。

4.首相选举：在国会的第一个会议上，众议院将进行首相选举。任何国会议员都可以提名一个候选人。一旦候选人被提名，选举将通过秘密投票进行。

5.选举结果：候选人需要赢得众议院的多数票才能当选为首相。如果没有候选人赢得多数票，将进行连续的投票，直到有候选人获得多数票为止。

6.任命：一旦有候选人赢得多数票，该人将被任命为首相。然后，该人将向天皇提交辞呈并被任命为日本国的首相。

需要注意的是，众议院选举的结果对首相的选举有着重要的影响，因为众议院在选举首相时具有决定性的投票权。同时，由于日本政党制度的特点，通常情况下，执政党的党首将成为首相候选人。